Bài tập 7.7 trang 28 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: ho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) $BC\perp (OAH):$
b) H là trực tâm của tam giác ABC;
c) $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
Bài Làm:
a) Vì $OA\perp OB, OA\perp OC$ nên $OA\perp (OBC)$
=> $OA\perp BC$
- Vì $OH\perp (ABC)$ nên $OH\perp BC$
=> $BC\perp (OAH)$
b) Vì $BC\perp (OAH)$ nên $BC\perp AH$
Tương tự $CA\perp BH$
=> H là trực tâm của tam giác ABC
c) Gọi K là giao điểm của AH và BC
Có $OK\perp BC$ và $OA\perp OK $
=> OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OBC và OAK, ta có:
$\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OK^{2}}$
$\frac{1}{OK^{2}}=\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$=> \frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$