Giải bài tập 7.36 trang 47 SBT toán 10 tập 2 kết nối

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a=\sqrt{2},c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{2-1}=1$

(E) có hai tiêu điểm là F1(–1; 0); F2(1; 0).

a) Ta có:

$MF1^{2} = (x0 + 1)^{2} + (y0 – 0)^{2} = (x0 + 1)^{2} + y0^{2}$

$MF2^{2} = (x0 – 1)^{2} + (y0 – 0)^{2} = (x0 – 1)^{2} + y0^{2}$

$MF1^{2} – MF2^{2}$

$= (x0 + 1)^{2} + y0^{2}  – [(x0 – 1)^{2} + y0^{2}]$

$= (x0 + 1)^{2}  – (x0 – 1)^{2}$

$= x0^{2}  + 2x0 + 1 – (x0^{2}  – 2x0 + 1)$

= 4x0.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF1 + MF2 = 2a = $2\sqrt{2}$ (1)  

Mà: $(MF1 – MF2)(MF1 + MF2) = MF1^{2} – MF2^{2}$  

 => $MF1 - MF2= \frac{MF1^{2}-MF2^{2}}{MF1+MF2}=\frac{4x0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}x0$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

$2MF1 = 2\sqrt{2}  + \sqrt{2}x0$

⇔ $MF1 =  \sqrt{2} +  \frac{x0}{\sqrt{2}}$

⇒ $MF2 = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\frac{x0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{x0}{\sqrt{2}}$

b) Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

$MF2=2MF1 <=> \sqrt{2}-\frac{x0}{\sqrt{2}}=2(\sqrt{2}\frac{x0}{\sqrt{2}})<=>\frac{3x0}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}<=>x0=\frac{-2}{3}$

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

$\frac{x0^{2}}{2}+\frac{y0^{2}}{1}=1<=>u0^{2}=1-\frac{x0^{2}}{2}=1-\frac{(-\frac{2}{3})^{2}}{2}=\frac{7}{9}=>y0=\frac{\sqrt{7}}{3}$ hoặc $y0=-\frac{\sqrt{7}}{3}$

Vậy $M(-\frac{2}{3};\frac{\sqrt{7}}{3})$ hoặc M$(-\frac{2}{3};-\frac{\sqrt{7}}{3})$ .

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF1F2, ta có

$cos\widehat{F1MF2}=\frac{MF1^{2}+MF2^{2}-F1F2^{2}}{2\times  MF1\times  MF2}=\frac{(\sqrt{2}+\frac{x0}{\sqrt{2}})^{2}+(\sqrt{2}-\frac{x0}{\sqrt{2}})^{2}-2^{2}}{2\times (\sqrt{2}+\frac{x0}{\sqrt{2}})\times (\sqrt{2}-\frac{x0}{\sqrt{2}})}=\frac{x0^{2}}{4-x0^{2}}$

Ta có: $\frac{x0^{2}}{2}=1- y0^{2}\leq 1 ⇔ 0 ≤ x0^{2} ≤ 2 ⇒ 4 – x0^{2} > 0.$

Suy ra $cos\widehat{F1MF2}\geq 0=>\widehat{F1MF2}\leq 90^{\circ}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 ⇒ y0  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.