7.33. Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.
Bài Làm:
Phương trình chính tắc của (P) có dạng $y^{2} = 2px$, trong đó p > 0.
Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 ⇔ x = –4 ⇔ –p : 2 = –4 ⇔ p = 8
Vậy phương trình chính tắc của (P) là $y^{2} = 16x.$
Gọi M (x0; y0).
Vì M thuộc (P) nên ta có:
d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).
<=> $\frac{|x0+4|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=5$
⇔ |x0 + 4| = 5 (*)
TH1: x0 + 4 ≥ 0 hay x0 ≥ –4
(*) ⇔ x0 + 4 = 5 ⇔ x0 = 1 (thỏa mãn)
TH2: x0 + 4 < 0 hay x0 < –4
(*) ⇔ –x0 – 4 = 5 ⇔ x0 = –9 (thỏa mãn)
Với x0 = –9, thay vào phương trình của (P) ta được $y0^{2} = 16\times (–9) = –144 < 0$ (không thể tồn tại)
Với x0 = 1, thay vào phương trình của (P) ta được $y0^{2} = 16\times 1 = 16 ⇔ y0 = ±4$
Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).
