Bài tập 7.29 trang 38 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng $60^{\circ}$, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách
a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài Làm:
a) Kẻ $SH\perp BC$ tại H
$=> SH\perp (ABC),$
suy ra $d(S,(ABC)) = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
b) Kẻ $HK \perp AC$ tại K, $HQ \perp SK$ tại Q
$=> d(H,(SAC)) = HQ.$
Có $AB=\frac{a}{2}, HK=\frac{a}{4}$ và tam giác SHK vuông tại H,
$=> HQ=\frac{SH.HK}{SK}=\frac{a\sqrt{39}}{26}$
Có H là trung điểm của BC
$=> d(B, (SAC)) = 2d (H, (SAC))=\frac{a\sqrt{39}}{13}$
c) Dựng hình bình hành ABMC, chứng minh được ABMC là hình chữ nhật.
$=> AB // (SCM)$ và mặt phẳng (SMC) chứa SC
$=> d(AB, SC) = d(AB, (SCM))$
$= d(B, (SCM)) = 2d (H, (SCM)).$
Kẻ HN vuông góc với CM tại N, HE vuông góc với SN tại N
$=> HE\perp (SCM),$
$=> d(H,(SCM)) = HE. $
Ta có: $HN =\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
tam giác SHN vuông tại H, đường cao HE nên
$HE =\frac{SH.HN}{SN}=\frac{a\sqrt{15}}{10}$
Vậy $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$