Bài tập 7.29 trang 38 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60^{\circ}, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách
a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài Làm:
a) Kẻ SH\perp BC tại H
=> SH\perp (ABC),
suy ra d(S,(ABC)) = SH =\frac{a\sqrt{3}}{2}
b) Kẻ HK \perp AC tại K, HQ \perp SK tại Q
=> d(H,(SAC)) = HQ.
Có AB=\frac{a}{2}, HK=\frac{a}{4} và tam giác SHK vuông tại H,
=> HQ=\frac{SH.HK}{SK}=\frac{a\sqrt{39}}{26}
Có H là trung điểm của BC
=> d(B, (SAC)) = 2d (H, (SAC))=\frac{a\sqrt{39}}{13}
c) Dựng hình bình hành ABMC, chứng minh được ABMC là hình chữ nhật.
=> AB // (SCM) và mặt phẳng (SMC) chứa SC
=> d(AB, SC) = d(AB, (SCM)) = d(B, (SCM)) = 2d (H, (SCM)).
Kẻ HN vuông góc với CM tại N, HE vuông góc với SN tại N
=> HE\perp (SCM),
=> d(H,(SCM)) = HE.
Ta có: HN =\frac{BM}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}
tam giác SHN vuông tại H, đường cao HE nên HE =\frac{SH.HN}{SN}=\frac{a\sqrt{15}}{10}
Vậy d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{15}}{5}