Bài tập 7.17 trang 31 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.
a) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD).$
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và a là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính $sin \alpha .$
Bài Làm:
a) Ta có: $SO\perp AC; SO\perp BD $
=> $SO\perp (ABCD).$
b) Vì $AO\perp (SBD) $
=> SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD),
=> Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa
hai đường thẳng SA và SO.
Mà $\widehat{(SA,SO)} = \widehat{ASO}$
=> $\widehat{SA,(SBD)}=\widehat{ASO}. $
Xét tam giác SAC có
$SA^{2} + SC^{2} = AC^{2} và SA = SC $
=> Tam giác SAC vuông cân tại S
=> $\widehat{ASO} = 45^{\circ}. $
=> $\widehat{SA,(SBD)}=45^{\circ}. $
c) Kẻ $OK\perp BC$ tại K, $OH\perp SK$ tại H
=> $OH\perp (SBC)$
=> HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC)
=> $\widehat{OM,(SBC)}=\widehat{(OM,MH)}$
mà $\widehat{(OM,MH)}=\widehat{OMH}$
=>$\widehat{OM,(SBC)}=\widehat{OMH}=\alpha $
Có $OM=\frac{a}{2}$
$OK=\frac{a}{2}$
$SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Có Tam giác SOK vuông tại O, đường cao OH
=> $OH=\frac{SO.OK}{SK}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Vì tam giác OMH vuông tại H nên $sin\alpha =sin\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$