Bài tập 7.15 trang 30 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết $AB = a, SA = a\sqrt{6}.$
a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).
Bài Làm:
a) Kẻ $BH\perp AC$ tại H, mà $SA\perp (ABC)$
=> $SA\perp BH$
=> $BH\perp (SAC)$
=> SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC)
=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH
Mà $\widehat{(SB,SH)} = \widehat{BSH}.$
Có $BH =\frac{a\sqrt{2}}{2}, SH =\frac{a\sqrt{26}}{2}$
=> $tan \widehat{BSH}=\frac{BH}{SH}=\frac{\sqrt{13}}{13}$
b) Kẻ $AK\perp SB tại K, mà BC\perp (SAB) $
=> $BC\perp AK$
=> $AK\perp (SBC)$
=> CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC)
=> Góc giữa đường thẳng AC và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK
Mà $\widehat{(AC,CK)}=\widehat{ACK}$
Ta có: $AK =\frac{SA.AB}{SB}=a\sqrt{\frac{6}{7}}$
=> $sin\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}$