55. Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn $(C):(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0.
c) ∆ đi qua điểm D(0; 4).
Bài Làm:
Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.
a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:
$(x+2)^{2}+(3-3)^{2}=4\Leftrightarrow x=0$ hoặc x = -4
Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}=(2;0)$
Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là:$\overrightarrow{IN}=(-2;0)$
Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.
b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0
nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.
Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên $\Leftrightarrow \frac{|12\times (-2)+5\times 3+c|}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}=2 \Leftrightarrow c=35$ hoặc c = -17
Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0
Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0
c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.
Do D(0; 4) thuộc Δ nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.
Ta có: $\overrightarrow{DH}=(a;b-4)$ và $\overrightarrow{IH}=(a+2;b-3)$
$\Rightarrow IH=|\overrightarrow{IH}=\sqrt{(a+2)^{2}+(b-3)^{2}}=2$
$⇔ a^{2} + 4a + 4 + b^{2} – 6b + 9 = 4$
$⇔ a^{2} + 4a + b^{2} – 6b + 9 = 0$ (1)
Ta lại có:
$\overrightarrow{DH}$ x $\overrightarrow{IH}=0 \Leftrightarrow a(a+2)+(b-4)(b-3)=0$
$⇔ a^{2} + 2a + b^{2} – 7b + 12 = 0$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}a^{2}+4a+b^{2}-6b+9=0\\ a^{2}+2a+b^{2}-7b+12=0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a+b=33\\ a^{2}+2a+b^{2}-7b+12=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=3-2a\\ a^{2}+2a+(3-2a)^{2}-7(3-2a)+12=0\end{matrix}\right.$
Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)
Suy ra $\overrightarrow{IH}=(2;0)$
Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.
Với $a=-\frac{4}{5};b=\frac{23}{5}$
Suy ra $\overrightarrow{IH}=(\frac{6}{5};\frac{8}{5})=\frac{2}{5}(3;4)$
Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.
Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.