Bài tập 35 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AD = a, AB = a \sqrt{2}$. Biết $SAL \perp (ABCD)$ và $SA= a \sqrt{3}$. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.
a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAM)$.
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.
Bài Làm:
a) Để chứng minh $BD \perp (SAM)$, ta cần chứng minh rằng đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SAM)$ là vuông góc với nhau.
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, ta có $AD \parallel BC$ và $AB \parallel CD$. Do đó, $AB \parallel (SAM)$.
Gọi $O$ là giao điểm của các đường thẳng $BD$ và $AC$.
Ta cần chứng minh rằng $AO \perp BD$.
Vì $SA \perp (ABCD)$, ta có $SA \perp AC$. Vì $AB \parallel (SAM)$, ta cũng có $AB \perp AC$. Do đó, $A$ là giao điểm của $SA$ và $AB$, nên $AO \perp BD$.
Vậy, ta đã chứng minh được $BD \perp (SAM)$.
b) Để tính thể tích khối chóp $S.ABMD$, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp:
$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}$.
Đáy của chóp $S.ABMD$ là hình chữ nhật $ABCD$.
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S_{ABCD} = AB \times AD = a \sqrt{2} \times a = a^2 \sqrt{2}$.
Chiều cao của chóp $S.ABMD$ là độ dài đường thẳng $SM$.
Vì $M$ là trung điểm của $CD$, ta có $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a$.
Do đó, ta có $SM = SA - AM = a \sqrt{3} - CM = a \sqrt{3} - \frac{1}{2} a = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a$.
Thay các giá trị vào công thức, ta có:
$V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times a^2 \sqrt{2} \times \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a = \frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Vậy, thể tích khối chóp $S.ABMD$ là $\frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2})$.
