Bài tập 31 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho tứ diện OABC có $OA = OB = OC = a, \widehat{AOB} = \widehat{ AOC} = 60° $ và $\widehat{BOC} = 90°.$
a) Chứng minh rằng $(OBC) \perp (ABC)$.
b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.
Bài Làm:
a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $OM \perp BC$ vì $OM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
Vì $\widehat{BOC} = 90°$, nên $OM$ là đường cao của tam giác $BOC$. Từ đó, ta có $(OBC) \perp BC$.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng $AM \perp BC$. Vì $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 60°$, ta có $\widehat{BOC} = 180° - 60° - 60° = 60°$.
Vậy, tam giác $BOC$ là tam giác cân tại đỉnh $O$. Do đó, đường cao $OH$ trong tam giác $BOC$ cắt $BC$ tại trung điểm $M$ và đồng thời là đường trung trực của $BC$.
Vì vậy, $AM \perp BC$, từ đó suy ra $(ABC) \perp BC$.
Do đó, ta có $(OBC) \perp (ABC)$.
b)
Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó, ta có OH⊥BC và OH=$\frac{a}{2}$.
Gọi M là trung điểm của OA. Khi đó, ta có $OM \perp (ABC)$ và $OM = \frac{a \sqrt{3}}{6}$
Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là $\frac{a \sqrt{3}}{6}$
Thể tích khối tứ diện OABC là $\frac{1}{3} S_{ABC} OH = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{24} a^{2}$
