Bài tập 30 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t)=t^{3} – 3t^{2} – 9t + 2$, ở đó thời gian t>0 tính bằng giây và quãng đường s tinh bằng mét.
a) Tinh vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây.
c) Tinh gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0.
d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0.
Bài Làm:
a) Vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$
$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$
$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$
Để tính vận tốc tại $t = 2$, ta thay $t = 2$ vào công thức vận tốc:
$v(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 9$
$v(2) = 12 - 12 - 9$
$v(2) = -9$ (m/s)
Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2$ giây là $-9$ m/s.
b) Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt}$
$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9)$
$a(t) = 6t - 6$
Để tính gia tốc tại $t = 3$, ta thay $t = 3$ vào công thức gia tốc:
$a(3) = 6(3) - 6$
$a(3) = 18 - 6$
$a(3) = 12$ (m/s²)
Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3$ giây là $12$ m/s².
c) Trong đó, $a = 3$, $b = -6$, và $c = -9$. Thay vào công thức, ta có:
$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(-9)}}{2(3)}$
$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6}$
$t = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6}$
$t = \frac{6 \pm 12}{6}$
Với $t = \frac{6 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3$, hoặc $t = \frac{6 - 12}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Để vận tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 3$ giây.
$a(t) = \frac{d}{dt}(6t - 6)$
$a(t) = 6$
Vậy, gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0 ($t = 3$ giây) là $6$ m/s².
d) Để gia tốc bằng 0, chất điểm phải đạt đến thời điểm $t = 1$ giây.
Tiếp theo, chúng ta tính vận tốc tại thời điểm $t = 1$ bằng cách tính đạo hàm của $s(t)$:
$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t + 2)$
$v(t) = 3t^2 - 6t - 9$
$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9$
$v(1) = 3 - 6 - 9$
$v(1) = -12$ (m/s)
Vậy, vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0 ($t = 1$ giây) là $-12$ m/s.
