Bài tập 34 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAD}= 60^{\circ}$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp SC$.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài Làm:
a) Ta có $\widehat{SAB} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$
$\Rightarrow SAB $ cân tại S do đó $SB = SA =a$
Ta lại có $SC = SD =a$
$\widehat{SCD} = \widehat{SAD} = 45^{\circ}$ nên am giác SCD cân tại
Do đó, SC là trung tuyến của tam giác BCD, suy ra $BD⊥SC$.
b) b) Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.
Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $SC$. Ta cần tính độ dài $BM$.
Vì $BD \perp (ACD)$, nên ta có $BM \perp (ACD)$.
Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Khi đó, ta có $BN \perp AC$.
Ta biết rằng $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{ABD} = 30^{\circ}$.
Do đó, tam giác $ABN$ là tam giác vuông tại $N$.
Vì $AB = BC = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (vì $ABCD$ là hình thoi và $AB = BC$), nên $AN = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.
Vậy, ta đã tìm được độ dài $BN = AN \sin(\widehat{ABN}) = \frac{a}{\sqrt{6}} \sin(30^{\circ}) = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.
