Bài tập 26 trang 108 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm các giá trị của tham số m để:
a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+4x+3}{x+1} & & (x\neq -1)\\ m^{2} & & (x= -1)\end{matrix}\right.$ liên tục tại điểm x =- 1
b)$ g(x)=\left\{\begin{matrix}2x+m & & (x\leq 1)\\ \frac{x^{3}-x^{2}+2x-}{x-1} & & (x> -1)\end{matrix}\right.$ liên tục trên R
Bài Làm:
a) Để hàm $f(x)$ liên tục tại $x=-1$ ggias trị của hàm số tại $x =-1$ phải bằng giới hạn của hàm số khi x tiến đến -1
$f(-1) = m^{2}$$
$\lim_{x\rightarrow -1}f(x)=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+4x+3}{x+1}$
$=\lim_{x\rightarrow -1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=2$
Do đó nếu hàm số $f(x)$ liên tục tại x = -1 ta phải có m^{2} = 2, tức là $m = \pm \sqrt{2}$
b)
Khi $x \leq 1$: $g(x) = 2x + m$
Khi $x > -1$: $g(x) = \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$
Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái: $\lim_{x\rightarrow 1^{-}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}} (2x + m) = 2(1) + m = 2 + m$
Giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $\lim_{x\rightarrow 1^{+}} g(x) = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x^{3}-x^{2}+2x}{x-1}$
$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x^{2}-x+2)}{x-1} $
$= \lim_{x\rightarrow 1^{+}} \frac{x(x-1)(x-2)}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{+}} x(x-2) = 1(1-2) = -1$
Để hàm $g(x)$ liên tục trên R, giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên trái phải bằng giới hạn của $g(x)$ khi $x$ tiến đến 1 từ bên phải: $2 + m = -1$
Suy ra $m = -3$.
Vậy, giá trị của tham số $m$ là -3 để hàm $g(x)$ liên tục trên R.
