Bài tập 2 trang 73 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:
a) $(SBC) \perp (SAD)$
b) $(SAB) \perp (SAC)$
Bài Làm:
a) Tam giác ABC đều có I là trung điểm nên $AI \perp CB$ hay $AD \perp BC$
Vì $SD \perp (ABC)$ nên $SD \perp BC$
Suy ra $BC \perp (SAD)$
Nên $(SAD) \perp (SBC)$
b) Tam giác ABC đều nên $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, và $AD = a\sqrt{3}$
Tam giác SAD vuông tại D nên $SA = \sqrt{AD^{2}+SD^{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$
Kẻ $IO \perp SA$ Suy ra $\Delta AOI \sim \Delta ADS$
Suy ra: $OI = \frac{AI.DS}{AS} = \frac{a}{2}$
Tam giác BOC có OI là trung tuyến, $OI = \frac{a}{2}$. Nên BOC vuông tại O
Ta có: $BC \perp (SAD)$ nên $SA \perp BC$. Mà $SA \perp OI$ nên $SA \perp (OBC)$
Suy ra: $SA \perp IB; SA\perp IC$
Góc giữa (SAB) và (SAC) là góc giữa IB và IC và bằng $90^{o}$
Vậy $SAB) \perp (SAC)$
