1. Cho hình bên có góc AOD vuông. Biết $\widehat{AOB} = \widehat{BOC}=\widehat{COD}$, tia OE và OF là hai tia phân giác của $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$. Tính số đo của $\widehat{EOF}$
2. Hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù nhau. Trong đó $\widehat{yOz}$ = 30$^{\circ}$. Trên nửa mặt phẳng bờ là xz có chứa tia Oy kẻ tia On. Giả sử $\widehat{xOn}$ = a$^{\circ}$. Tìm giá trị của a$^{\circ}$ để tia Oy là tia phân giác của $\widehat{xOz}$
3. Cho góc $\widehat{xOy}$ và Oz là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$, gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh số đo của $\widehat{xOz'}$ với số đo của $\widehat{yOz'}$
4. Cho góc $\widehat{AOB}$ = 60$^{\circ}$, $\widehat{AOC}$ = 30$^{\circ}$. Hai góc có chung đỉnh O và chung cạnh OA. Vẽ tia OF nằm giữa hai tia OA và OB sao cho $\widehat{BOF}$ = 45$^{\circ}$. Tia OF là tia phân giác của góc nào?
Bài Làm:
1.
Ta có: $\widehat{AOB} = \widehat{BOC}=\widehat{COD} = \frac{1}{3}\widehat{AOD} = \frac{1}{3}.90^{\circ} = 30^{\circ}$
Vì OE là tia phân giác của góc AOB nên ta có: $\widehat{AOE}=\widehat{EOB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{1}{2}.30^{\circ} = 15^{\circ}$
OF là tia phân giác của góc COP nên ta có: $\widehat{COF}=\widehat{EOD} = \frac{1}{2}\widehat{COP} = \frac{1}{2}.30^{\circ} = 15^{\circ}$
OE và OF là hai tia phân giác của hai góc AOB và COD nên OE và OF nằm giữa hai tia OA và OD
Vậy $\widehat{AOE} + \widehat{EOF} + \widehat{FOD} = \widehat{AOD}$
$\Rightarrow \widehat{EOF} = \widehat{AOD} - \widehat{AOE} - \widehat{FOD} = 90^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ}$
Vậy $\widehat{EOF} = 60^{\circ}$
2.
Oy là tia phân giác của $\widehat{nOz}$ nên Oy nằm giữa hai tia On và Oz và : $\widehat{nOy}=\widehat{yOz}=30^{\circ}$. Vậy $\widehat{nOz}=60^{\circ}$
Tia On và Oy thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xz nên ta có $\widehat{xOn}$ và $\widehat{nOz}$ là hai góc kề bù nhau.
Ta có: $\widehat{xOn}+\widehat{nOz}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{xOn}+60^{\circ}=180^{\circ}$
$\Rightarrow a^{\circ} = \widehat{xOn}=120^{\circ}$
3.
Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy}$ (1)
Oz và Oz' là hai tia đối nhau nên zz' là một đường thẳng
Do đó ta có:
$\widehat{z'Ox}+\widehat{xOz}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) (2)
$\widehat{z'Oy}+\widehat{yOz}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{z'Ox} = \widehat{z'Oy}$
4. Ta xét hai trường hợp:
* Tia OB và OC cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA
Theo đầu bài tia OF nằm giữa hai tia OA và OB nên ta có:
$\widehat{AOF}+\widehat{FOB}=\widehat{AOB}$
Thay số ta có: $45^{\circ}+\widehat{AOB}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{AOB}=15^{\circ}$
Vậy $\widehat{AOB}$ < $\widehat{AOC}$ nên tia OF nằm giữa hai tia OA và OC.
Mà lại có $\widehat{FOA}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}$ nên OF là tia phân giác của $\widehat{AOC}$
* Tia OB và OC thuộc hai nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA
Khi đó OA nằm giữa hai tia OB và OC, ta có:
$\widehat{BOA}+\widehat{AOC}=\widehat{BOC}$ = $30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$
Ta có: $\widehat{BOF} = 45^{\circ} < \widehat{BOA}= 60^{\circ}$ nên OF nằm giữa hai tia OA và OB mà OA nằm giữa OB và OC nên OF nằm giữa OB và OC
Mà $\widehat{BOF} = 45^{\circ} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$ nên OF là tia phân giác của $\widehat{BOC}$