Bài Làm:
Lời giải bài 5 :
Đề bài :
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn : $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2014$ (*)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{x^{2}+y^{2}} & & \\ b=\sqrt{y^{2}+z^{2}} & & \\ c=\sqrt{z^{2}+x^{2}} & & \end{matrix}\right.$ (**)
(*) => a + b + c = 2014 (1)
(**) => $\left\{\begin{matrix}x^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2} & & \\ y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}& & \\ z^{2}=\frac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} & & \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
$\left\{\begin{matrix}y+z\leq \sqrt{2(y^{2}+z^{2})}=b\sqrt{2} & & \\ z+x\leq\sqrt{2(z^{2}+x^{2})}=c\sqrt{2}& & \\ x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=a\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.$
Ta có : $T=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$ .
=> $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{b}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{c}+\frac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a})$
<=> $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}-a-b-c)$ (2)
Áp dụng BĐT Cauchy , ta lại có :
$\left\{\begin{matrix}\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a;\frac{c^{2}}{b}+b\geq 2c &&\\ \frac{a^{2}}{c}+c\geq 2a;\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b &&\\ \frac{b^{2}}{a}+a\geq 2b;\frac{c^{2}}{a}+a\geq 2c && \end{matrix}\right.$
=> $\frac{a^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4(a+b+c)-2(a+b+c)=2(a+b+c)$ (3)
Từ (2) , (3) => $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)$ (4)
Từ (1) , (4) => $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}2014=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$
Vậy $T_{min}=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$ khi $x=y=z\frac{2014}{2\sqrt{2}}$ .