Bài Làm:
Lời giải bài 2 :
Đề bài :
a. Cho phương trình: $2013x^{2}-(m-2014)x-2015$ , với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :
$\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$
b. Giải phương trình : $\frac{1}{(2x+1)^{2}}+\frac{1}{(2x+2)^{2}}=3$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có: $\Delta = (m - 2014) ^{2}+ 4 . 2013 . 2015 > 0$ với mọi m.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi- et , ta có : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{m-2014}{2013} & \\ x_{1}.x_{2}=\frac{-2015}{2013} & \end{matrix}\right.$
Từ : $\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$
<=> $\left\{\begin{matrix}2014= (\sqrt{x_{1}^{2}+2014}+x_{1})(\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}) & \\ 2014= (\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^{2}+2014}-x_{2}) & \end{matrix}\right.$
Vậy m = 2014 là giá trị thoả mãn đề bài.
b. $\frac{1}{(2x+1)^{2}}+\frac{1}{(2x+2)^{2}}=3$ . (*)
Đk : $x\neq 1;x\neq \frac{-1}{2}$
Đặt 2x + 1 = t
(*) => $\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}=3$
<=> $(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})^{2}+\frac{2}{t(t+1))}-3=0$ (1)
Đặt $\frac{1}{t(t+1)}=y$
(1) => $y^{2}+2y-3=0$
=> $y_{1}=1;y_{2}=-3$
+ Với y = 1 <=> $\frac{1}{t(t+1)}=1=> t(t+1)=1=> t^{2}+t-1=0$
=> Hoặc $t_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $t_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ .
Nếu $t_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ => $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{4}$ ( t/mãn )
Nếu $t_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ => $x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{4}$ ( t/mãn )
+ Với y = - 3 <=> $\frac{1}{t(t+1)}=-3=> t(t+1)=\frac{-1}{3}> t^{2}+t+\frac{1}{3}=0$ (*)
Ta có : $\Delta =1-\frac{4}{3}< 0$ => (*) vô nghiệm .
Vậy pt có hai nghiệm $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{4}$ ; $x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{4}$ .