Giải Bài: Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình đường thẳng

• Phương trình tham số của đường thẳng: \(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\) với vecto chỉ phương \(\vec{u}  = (a;b)\)
• Phương trình tổng quát của đường thẳng: \(ax + by + c = 0\) với vecto pháp tuyến \(\vec{n}  = (a;b)\) 

      Trường hợp đặc biệt

• Nếu \(a = 0 => y = \frac{-c}{b};  ∆ \perp Oy=(0;\frac{-c}{b})\)
• Nếu \(b = 0 => x = \frac{-c}{a}; ∆ \perp Ox=(\frac{-c}{a};0)\)
• Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\) đi qua gốc tọa độ.
• Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng \(∆\) theo đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

      Vị trí tương đối của hai đường thẳng

       Xét hai đường thẳng  ∆₁ và ∆₂ có phương trình tổng quát lần lượt là: a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a ₂+ b₂y +c₂ = 0.

       Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) là điểm chung của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình:

       (1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

      Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆₁ $\equiv$  ∆₂

       Góc giữa hai đường thẳng

        Cho hai đường thẳng  ∆₁ = a₁x+b₁y + c₁ = 0 

                                    ∆₂ =  a ₂+ b₂y +c₂ = 0⁰ 

        Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)

                  \(\cos  \varphi\) = \(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

        Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

         Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức:

                     \(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

2. Phương trình đường tròn

• Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\,\ \) bán kính \(R\) là:${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$

• Phương trình đường tròn  \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)  có thể được viết dưới dạng:

                             $${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$

        trong đó \(c = {a^2} + {b^2} + {R^2}\)

•  Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn

       Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\). Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\).

       Phương trình \(∆\) là : $({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$

3. Phương trình đường elip

•     Elip là tập hợp các điểm \(M\) sao cho tổng \(F_1M +F_2M = 2a\) không đổi.

       Với các điểm \(F_1\) và \(F_2\)  gọi là tiêu điểm của elip.

      Khoảng cách \(F_1F_2= 2c\) gọi là tiêu cự của elip.

• Phương trình chính tắc của elip

      Cho elip có tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)  chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(F_1(-c ; 0)\) và \(F_2(c ; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được: \(M(x ; y) \in\) elip  \(\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) (1)

       trong đó:   \(b^2= a^2– c^2\)

       Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

• Các điểm $A_1(-a;0),\,\ A_2(a;0),\,\ B_1(0;-b),\,\ B_2(0;b)$ gọi là các đỉnh của elip.
• Độ dài trục lớn: $2a$
• Độ dài trục bé: $2b$