Bài tập 11 trang 87 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =2a, CD =a; số đo góc nhị diện [S, BC, A] bằng $60^{o}$. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài Làm:
Kẻ $IH \perp BC$
Ta có: $(SIB)\perp (ABCD), (SIC)\perp (ABCD), (SIB) \cap (SIC) = SI$
Nên $SI\perp (ABCD)$. Suy ra $SI\perp BC$. Mà $BC \perp IH$
Suy ra $BC \perp (SIH), BC \perp SH$
Ta có: $[S, BC, A] = \widehat{SHI} = 60^{o}$
$S_{ABCD} = \frac{1}{2}2a(a+2a) = 3a^{2}$
$S_{ABI} =\frac{1}{2}.2a.a=a^{2}$
$S_{IDC} =\frac{1}{2}.a.a=\frac{1}{2}a^{2}$
$S_{IBC} = 3a^{2}-a^{2}-\frac{1}{2}a^{2} = \frac{3}{2}a^{2}$
$BC =\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=a\sqrt{5}$
$S_{IBC} =\frac{1}{2}IH.BC$ nên $IH = \frac{3a}{\sqrt{5}}$
$SI = IH.tan60^{o} = \frac{3a\sqrt{15}}{5}$
$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.SI.S_{ABCD} = \frac{3a^{3}\sqrt{15}}{5}$
