Bài tập tự luận
Bài tập 9 trang 86 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a) Chứng minh rằng $(SMD)\perp (SNC)$
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC)
Bài Làm:
a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên $SM\perp AB$. Mà $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SM \perp (ABCD)$
Suy ra: $SM \perp NC$
Ta có tam giác AMD và tam giác DNC bằng nhau nên $\widehat{AMD}=\widehat{CND}$
mà $\widehat{AMD}+\widehat{ADM} = 90^{o}$ nên $\widehat{CND}+\widehat{ADM} = 90^{o}$
suy ra tam giác DNE vuông tại E. Hay $DM \perp NC$
Mà $SM \perp NC$ nên $NC \perp (SMD)$
Vậy $(SNC) \perp (SMD)$
b) Kẻ $MK \perp (SE)$
Vì $NC \perp (SMD)$ nên $NC \perp MK$. Suy ra $MK \perp (SNC)$
Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác CND vuông có DE là đường cao nên $\frac{1}{DE^{2}}=\frac{1}{DN^{2}}+\frac{1}{DC^{2}}$. Suy ra $DE = \frac{a\sqrt{5}}{5}$
$DM = \sqrt{AM^{2}+AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
$ME = MD - DE = \frac{3a\sqrt{5}}{10}$
$SM \perp (ABCD)$ nên $SM \perp ME$
Tam giác SME vuông tại M có MK là đường cao nên $\frac{1}{MK^{2}}=\frac{1}{SM^{2}}+\frac{1}{ME^{2}}$. Suy ra $MK = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$
