9.13.
a) Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC > PB + PC.
b) Cho M là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2}(AB +BC+CA)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$
Bài Làm:
a) 
P là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng BP cắt cạnh AC tại N
Ta có:
AB + AC = AB + AN + NC = (AB + AN) + NC (1)
Xét tam giác ABN: AB + AN > BN (Bất đẳng thức tam giác) =>AB + AN > BP + PN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BP + (PN + NC) > BP + PC (Bất đẳng thức tam giác PNC)
b)
Ta có:
MA + MB > AB (bất đẳng thức trong tam giác ABM)
MB + MC > BC (bất đẳng thức trong tam giác MBC)
MC + MA > CA (bất đẳng thức trong tam giác MAC)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải:
2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA
=> $MA+MB+MC> \frac{AB+BC+CA}{2}$(1)
Mặt khác theo a)
M là điểm nằm trong tam giác ABC:
AB + AC > MB + MC
CA + CB > MA + MB
BA + BC > MA + MC
Cộng VT với VT, VP với VP:
2(AB + BC + CA) > 2(MA + MB + MC)
=> AB + BC + CA > MA + MB + MC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\frac{1}{2}(AB +BC+CA)<MA+MB+MC<AB+BC+CA$