Bài Làm:
Lời giải bài 5 :
Đề bài :
Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
a. Chứng minh rằng : $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$ . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.
c. Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d. Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có : $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$ ( do cùng chắn cung BC )
Và $\widehat{MIC}=\widehat{BAC}$ ( do AB // MI )
=> Bốn điểm I ,C, M ,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM (vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông) .
b. Do $\triangle FBD \sim \triangle FEC $ => FB. FC = FE. FD. (1)
Và $\triangle FBM \sim \triangle FIC $ => FB. FC = FI. FM. (2)
Từ (1) , (2) => FI.FM =FD.FE .
c. Ta có : $\widehat{PTQ}=90^{\circ}$ ( do POIQ là đường kính ).
Và $\triangle FIQ \sim \triangle FTM $ => có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và $\frac{FI}{FQ}=\frac{FT}{FM}$ ( vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ ) .
=> $\widehat{FIQ}=\widehat{FTM}$
Mặt khác , ta có : $\widehat{FIQ}=\widehat{OIM}=90^{\circ}$ ( do (I nhìn OM dưới góc $90^{\circ}$ ) .
=> P, T, M thẳng hàng ( vì $\widehat{PTM}=180^{\circ}$ ) .
d. Ta có BC không đổi => $S_{IBC}$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất.
Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì $\triangle ABC$ vuông tại B.
Vậy $S_{IBC}$ lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).