Bài Làm:
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm ).
a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp .
b. Gọi là trực tâm tam giác ABC , chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi .
c. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn .Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
d. Cho OB = 3 cm , OA = 5 cm . Tính diện tích tam giác ABC .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a.
Ta có :
$AB\perp OB=> \widehat{OBA}=90^{\circ}$
$AC\perp OC=> \widehat{OCA}=90^{\circ}$
=> $ \widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^{\circ}$
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp . (đpcm)
b. Ta có : $OB\perp AB;CH\perp AB => OB//CH$ (1)
Tương tự : OC // BH (2)
Từ (1),(2) => OBHC là hình bình hành .
Mặt khác : OB = OC
=> OBHC là hình thoi .
c. Vì I là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn => I là điểm chính giữa cung BC.
Ta có : OA là đường phân giác $\widehat{BAC}$ (1)
Mặt khác : $\widehat{ABI}=\frac{1}{2}\widehat{BI}$
$\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{IC}$
Và $\widehat{BI}=\widehat{IC}$
=> $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}$
=> BI là đường phân giác $\widehat{ABC}$ (2)
Từ (1) , (2) => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . (đpcm)
d. Gọi K là giao điểm của OA và BC
=> K là trung điểm của BC <=> KB = KC .
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông AOB , ta có :
$OB^{2}+BA^{2}=OA^{2}<=> 3^{2}+BA^{2}=5^{2}$
<=> AB = 4 .
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABO , ta có :
$\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BO^{2}}=\frac{25}{9.16}$
=> $BK=\frac{12}{5}$
Ta có : $AK^{2}=AB^{2}-BK^{2}=\frac{256}{25}$
=> $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AK.BC=\frac{1}{2}.\frac{16}{5}.\frac{24}{5}=\frac{192}{25} (cm^{2})$
Vậy $S_{\triangle ABC}=\frac{192}{25} (cm^{2})$ .