Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình

Lời giải bài 4 :

Đề ra :

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:

a.  Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b.   AK.AH = R^{2 .}

c.   NI = BK .

Lời giải chi tiết:

a.  Ta có :   $\widehat{AMB}=90^{\circ}$       ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) . 

                   $MN\perp AB=> \widehat{AMB}+\widehat{BCH}=90^{\circ}$

=>  Tứ giác BCHK nội tiếp .

b.  Ta có : $\triangle ACH \sim \triangle AKB$  ( g-g )

=>   $\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{AK}=> AH.AK=AC.AB$

Mà : AB = 2R => $AO=\frac{AB}{2}=R$                                                                  (1)

        C là trung điểm của AO => $OC=AC=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2}$                  (2)

=>   $AH.AK=\frac{R}{2}.2R=R^{2}$       ( đpcm ) .

c.  Ta có:  $\triangle OAM$ đều (cân tại M và O) .

=>  $\widehat{MAB}=\widehat{NAB}=\widehat{MBN}=60^{\circ}$

=>  $\triangle MBN, \triangle KMI $ là những tam giác đều .

Xét $\triangle KMB $ và $\triangle IMN $ có:

• MK = MI                                                               ( cạnh tam giác đều KMI ) .
• $\widehat{KMB}=\widehat{IMN}$                     ( cùng cộng với góc BMI bằng 60⁰ )
• MB = MN                                                             ( cạnh tam giác đều BMN )

=>  $\triangle KMB = \triangle IMN $   ( c-g-c ) .

=>  NI = BK .              ( đpcm )