Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm, điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt (O) lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và MN // FE.

b) Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tếp tam giác DEF.

c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải chi tiết :

 

a.  Ta có : $\widehat{B_{1}}=\widehat{EFH}$   ( do 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC )

Xét đường tròn (O) có :  $\widehat{B_{1}}=\widehat{N_{1}}$  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

=>  $\widehat{EFH}=\widehat{N_{1}}$  mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // EF (đpcm)  .

Vậy tứ giác BCEF  nội tiếp và MN // EF .

b.  Vì tứ giác BCEF nội tiếp =>  $\widehat{HBF}=\widehat{HCE}$  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF)              (1)

Xét tứ giác BDHF có :  $\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác BDHF nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180$^{\circ} ) .

=>  $\widehat{HBF}=\widehat{HDF}$   ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FH )                                                            (2)

Chứng minh tương tự : tứ giác DCEH nội tiếp .

=>  $\widehat{HDE}=\widehat{HCE}$    ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH )                                                           (3)

Từ (1) , (2) và (3)  =>  $\widehat{HDF}=\widehat{HDE}$ => DH là phân giác của $\widehat{FDE}$   (*)

Tương tự :  EH là phân giác của $\widehat{DEF}$ .

                    FH là phân giác của $\widehat{DFE}$ .                                                                                                 (**)

Từ (*) và (**) => H là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle DEF$   (đpcm)  .

c.  Qua A kẻ đường kính AK , kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) .

=>   $AO\perp Ax$ .

Ta có : $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$  ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung  cùng chắn cung AB )       (4)

Vì tứ giác BCEF nội tiếp =>  $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ ( cùng bù $\widehat{BFE}$ )                                                        (5)

Từ (4) và (5)  =>   $\widehat{xAB}=\widehat{AFE}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng Ax và EF cắt AB  =>   Ax //EF .

Mặt khác , ta có : $Ax\perp OA=> OA\perp EF$  , và ( O ) cố định ( theo gt ) .

Vậy đường thẳng qua A và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định là điểm O    (đpcm) .