Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Vinh

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

a)  Cho hệ phương trình :  $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ x+2y=3m+2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn $3x^{2}+y^{2}=2$ .

b) Tìm m để phương trình $x^{2}-2x-2m+1=0$ có  hai nghiệm x_{1 ;}  x₂ thỏa mãn điều kiện  $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ x+2y=3m+2& \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1  (1)& \\ 3x+6y=9m+6 (2)& \end{matrix}\right.$

Lấy (2) - (1) ta được  : $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ 7y=7m+7& \end{matrix}\right.$

                  <=>   $\left\{\begin{matrix}3x-y=2m-1 & \\ y=m+1 & \end{matrix}\right.$

                  <=>   $\left\{\begin{matrix}x=m & \\ y=m+1 & \end{matrix}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm (x;y) nằm trong góc phần tư thứ II thì $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ y>0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}m<0 & \\ m+1>0 & \end{matrix}\right.$  <=>  $\left\{\begin{matrix}m<0 & \\ m>-1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $-1<m<0$ .

Sau đó thay (x;y) = (m; m+1) vào hệ thức $3x^{2}+y^{2}=2$  ta được :

                 $m_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$  ( loại )

                 $m_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$     ( thỏa mãn )

Vậy với   $m_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$  thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) là tọa độ của điểm nằm trong góc phần tư thứ II của mặt phẳng tọa độ thỏa mãn .

b.  $x^{2}-2x-2m+1=0$ 

Ta có : $\Delta {}'=2m$

=>   Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta {}'\geq 0<=>2m\geq 0<=> m\geq 0$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2  (1) & \\ x_{1}x_{2} =1-2m  (2)& \end{matrix}\right.$

Theo bài ra ta có:  $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .

<=>  $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8=0$

<=>   $(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8=0$   (*)

Thay (1) , (2) vào (*) ta được : $-8m^{2}+12m+8=0$

<=>   $2m^{2}-3m-2=0$  (**)

Giải (**) ta được :   $m_{1}=\frac{-1}{2}$  ( loại )  ; $m_{2}=2$  ( thỏa mãn ) .

Vậy m = 2 phương trình  $x^{2}-2x-2m+1=0$  có hai nghiệm x_{1 ;} x₂ thỏa mãn điều kiện  $x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8$ .