Bài Làm:
Lời giải bài 3 :
Đề bài :
Trong mp tọa độ Oxy , cho (d) : y = mx + 1 và parabol ( P) : $y=2x^{2}$ .
a. Tìm m để (d) đi qua A ( 1 ; 3 ) .
b. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt $A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})$ .Hãy tính giá trị của $T=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Để (d) đi qua A ( 1 ; 3 ) <=> 3 = m + 1 => m = 2 .
Vậy m = 2 thì (d) đi qua A ( 1 ; 3 ) .
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : $2x^{2}=mx+1<=>2x^{2}-mx-1=0 $ (1)
Ta có : $\Delta =m^{2}+8>0,\forall m $
=> (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m .
Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt $A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})$ .
Khi đó : $y_{1}=2x_{1}^{2};y_{2}=2x_{2}^{2}$
Áp dụng hệ thức Vi-et , ta có : $x_{1}x_{2}=\frac{-1}{2}$
Theo bài ra , ta có : $T=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+2x_{1}^{2}2x_{2}^{2}$ .
<=> $T=x_{1}x_{2}+4(x_{1}x_{2})^{2}=\frac{-1}{2}+4.\frac{1}{4}=\frac{-1}{2}+1=\frac{1}{2}$
Vậy $T=\frac{1}{2}$ .