3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Hoạt động 4 trang 43 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
a) Xét dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=3n-1$. Tính $u_{n+1}$ và so sánh với $u_{n}$
b) Xét dãy số $(v_{n})$ với $v_{n}=\frac{1}{n^{2}}$. Tính $v_{n+1}$ và so sánh với $v_{n}$
Bài Làm:
a) $u_{n+1}=3(n+1)-1=3n+2$
Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ ta có:
$u_{n+1}-u_{n}=(3n+2)-(3n-1)=3>0$ suy ra $u_{n+1}>u_{n}$∀ n ∈ ℕ*.
Vậy $u_{n+1}>u_{n}$ ∀ n ∈ ℕ*.
b) $v_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$
Xét hiệu $v_{n+1}-v_{n}$ ta có:
$v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{-(2n+1)}{n^{2}(n+1)^{2}}<0$ ∀ n ∈ ℕ*.
Tức là $v_{n+1}<v_{n}$ ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy $v_{n+1}<v_{n}$ ∀ n ∈ ℕ*.