Bài tập 2.4 trang 46 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Trong các dãy số ($u_{n}$) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_{n}=n-1$
b) $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$
c) $u_{n}=sinn$
d) $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$
Bài Làm:
a) Ta có $u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N$*) suy ra $u_{n}$ bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.
Dãy số ($u_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
$u_{n} = n – 1 ≤ M$ với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1; u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N$*)
Suy ra $u_{n}$ bị chặn
c) $u_{n}=sinn$ do đó $-1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N$*)
Suy ra $u_{n}$ bị chặn
d) $u_{n}= (– 1)^{n-1}.n^{2}$
Ta có: $(– 1)^{n-1} = 1$ với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.
$(– 1)^{n-1} = – 1$ với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.
$n^{2} ≥ 0$ với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, $– 1 . n^{2} ≤ (– 1)^{n-1}. n^{2} ≤ 1 . n^{2}$ hay $– n^{2} ≤ u_{n} ≤ n^{2}$ với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số ($u_{n}$) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số ($u_{n}$) là dãy số bị chặn.