3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Hoạt động 3 trang 54 sgk Toán 11 tập 1 KNTT: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với số hạng đầu $u_{1}=a$ và công bội $q\neq 1$
Để tính tổng của n số hạng đầu
$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$
thực hiện lần lượt các yêu cầu sau
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo $u_{1}$ và q để biểu thức tính tổng $S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q\times S_{n}$ chỉ chứa $u_{1}$ và q
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $(1-q)S_{n}$ theo $u_{1}$ và q. Từ đó suy ra công thức $S_{n}$
Bài Làm:
a) Ta có: $u_{2}=u_{1}.q;...;u_{n-1}=u_{1}.q^{(n-1)-1}=u_{1}.q^{n-2};u_{1}.qu_{n-1}$
Do đó, $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}+u_{n}$
$=u_{1}+u_{1}.q+...+u_{1}.q^{n-2}+u_{1}.q^{n-1}$ (1)
b) Ta có: $q.S_{n}=q(u_{1}+u_{1}.q+...+u_{1}.q^{n-2}+u_{1}.q^{n-1}) $
$= qu_{1}+u_{1}q^{2}+...+u_{1}q^{n-1}+u_{1}q^{n}$ (2)
c) $S_{n}-qS_{n}=(u_{1}+u_{1}q+...+u_{1}q^{n-2}+u_{1}q^{n-1})-(qu_{1}+u_{1}q^{2}+...+u_{1}q^{n-1}+u_{1}q^{n})$
$\Rightarrow (1-q)S_{n}=u_{1}-u_{1}q^{n}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$