Câu 6: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2
Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Gọi (O) là đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC. Gọi T là giao điểm của ON và AB, biết P thuộc đoạn BP.
a) So sánh hai cung nhỏ BC và BA.
b) Chứng minh rằng OM > OP
Bài Làm:
a) Ta có: N là trung điểm của AC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó)
$\Rightarrow $ ON đi qua điểm chính giữa cung AC.
Theo đề bài, A và B nằm ở hai phía của đường thẳng ON
$\Rightarrow $ AB > BC $\Rightarrow $ cung nhỏ AB > cung nhỏ BC (mối liên hệ giữa dây và cung).
b)
Ta có: N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC.
Theo bài 5, $\Rightarrow OP \perp AB;\;OM \perp BC;\;ON \perp AC$
Xét các tam giác BOP và BOM vuông tại P và M:
$OP^2 = BO^2 - BP^2 = R^2 - BP^2$ (Định lý Pytago)
$OM^2 = BO^2 - BM^2 = R^2 - BM^2 $ (Định lý Pytago)
Lại có: $BP = \frac{1}{2} AB$; $BM = \frac{1}{2} BC$
Mà AB > BC $\Rightarrow BP > BM \Rightarrow BP^2 > BM^2 \Rightarrow - BP^2 < - BM^2$
$\Rightarrow OP^2 < OM^2$ hay OP < OM (đpcm)