Giải VNEN toán 9 bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

A. Hoạt động khởi động

Cho các phương trình

a) $5y = 0$

b) $2 - 3x = 0$

c) $x - x^2 = 0$

d) $5x + 1 = 0$

e) $2t^2 - 1 = 0$

g) $y^2 - 4y + 3 = 0$

1. Chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình trên và giải chúng

2. Trong các phương trình trên, hãy nhật xét về bậc của biến trong các phương trình không phải là phương trình bậc nhất. Nêu cách giải các phương trình đó mà em biết.

Trả lời:

1. Các phương trình bậc nhất là: a, b, d

a) $5y = 0 \Leftrightarrow y = 0$

b) $2 - 3x = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$

d) $5x + 1 = 0 \Leftrightarrow 5x = -1 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{5}$

2. Trong các phương trình trên, các phương trình không phải là phương trình bậc nhất đều có bậc của biến là 2. Có thể giải phương trình trên bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện các bước lập phương trình cho bài toán sau

Bài toán: Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m; chiều rộng là 28m, bác Minh định làm một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh (h.12). Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 672 $m^2$.

Lập phương trình

Gọi bề trông mặt đường là x (m), 0 < 2x < 28. Phần đất còn lại hình chữ nhật có:

Chiều dài là: $32 - 2x$ (m)

Chiều rộng là: $...............$

Diện tích là: $(32 - 2x)(...................)$ ($m^2)$

Theo đầu bài, ta có phương trình:

$(32 - 2x)(..................) = 672$, hay $x^2 - 30x +56 = 0$

Để giải bài toán trên, ta cần giải phương trình $x^2 - 30x +56 = 0$ Phương trình $x^2 - 30x +56 = 0$ có bậc của ẩn x bằng 2 và được gọi là một phương trình bậc 2.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 37)

c) Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình ấy.

i) $x^3 - 5 = 0$

ii) $3x^2 - 2x = 0$

iii) $-2x + 7 = 0$

iv) $-5x^2 = 0$

v) $4x^2 + 1 = 0$

vi) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Trả lời:

a) Gọi bề trông mặt đường là x (m), 0 < 2x < 28. Phần đất còn lại hình chữ nhật có:

Chiều dài là: $32 - 2x$ (m)

Chiều rộng là: $28 - 2x$

Diện tích là: $(32 - 2x)(28 - 2x)$ ($m^2)$

Theo đầu bài, ta có phương trình:

$(32 - 2x)(28 - 2x) = 672$, hay $x^2 - 30x +56 = 0$

c) Các phương trình bậc 2 là:

• ii) $3x^2 - 2x = 0$ với a = 3; b = -2; c = 0

• iv) $-5x^2 = 0$ với a = -5; b = c = 0

• v) $4x^2 + 1 = 0$ với a = 4; b = 0; c = 1;

• vi) $x^2 + 2x - 3 = 0$ với a = 1; b = 2; c = -3.

2. Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để 

a) Giải phương trình $3x^2 - 2x = 0$

Ta có: $3x^2 - 2x = 0$

$\Leftrightarrow x(............) = 0$

$\Leftrightarrow x = ..............$ hoặc $............. = 0$

$\Leftrightarrow x = $ hoặc $x = ...........$

Vậy $..............$

b) Giải phương trình $4x^2 - 1 = 0$

Ta có: $4x^2 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 = .... $

$\Leftrightarrow ..................$

Vậy $....................$

c) Giải phương trình $4x^2 + 1 = 0$

Ta có: $4x^2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 = .................$

(Mâu thuẫn vì .................)

Vậy $.......................$

Nhận xét: sgk trang 38

Trả lời

a) Giải phương trình $3x^2 - 2x = 0$

Ta có: $3x^2 - 2x = 0$

$\Leftrightarrow x(3x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $3x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{2}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 0$ hoặc $x = \frac{2}{3}$

b) Giải phương trình $4x^2 - 1 = 0$

Ta có: $4x^2 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 = 1$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = \pm \frac{1}{2}$

c) Giải phương trình $4x^2 + 1 = 0$

Ta có: $4x^2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 = -1$

(Mâu thuẫn vì $4x^2 \geq  0 \;\; \forall \;\;\;x$)

Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Thực hiện các hoạt động sau

a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để giải phương trình $2x^2 - 12x + 17 = 0$

Giải: Ta có: $2x^2 - 12x + 17 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2 - 12x = ..............$ (chuyển 17 sang vế phải)

$\Leftrightarrow x^2 - 6x = ..................$ (chia cả hai vế cho 2)

$\Leftrightarrow x^2 - 2\times x \times 3 + 3^2 = ..........$ (Thêm vào cả hai vế cùng một số là $3^2$ để vế trái thành một bình phương)

$\Leftrightarrow (x - 3)^2 = ..............$

$\Leftrightarrow  x - 3 = ................$

$\Leftrightarrow  x = 3 \pm .................$

Phương trình có hai nghiệm $x_1 = ...............;\; x_2 = .....................$

Nhận xét: sgk trang 39

b) Giải phương trình $x^2 + 4x - 12 = 0$

Trả lời:

a) Ta có: $2x^2 - 12x + 17 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^2 - 12x = 17$ (chuyển 17 sang vế phải)

$\Leftrightarrow x^2 - 6x = \frac{17}{2}$ (chia cả hai vế cho 2)

$\Leftrightarrow x^2 - 2\times x \times 3 + 3^2 = \frac{17}{2} + 3^2$ (Thêm vào cả hai vế cùng một số là $3^2$ để vế trái thành một bình phương)

$\Leftrightarrow (x - 3)^2 = \frac{35}{2}$

$\Leftrightarrow  x - 3 = \pm \sqrt{\frac{35}{2}}$

$\Leftrightarrow  x = 3 \pm \sqrt{\frac{35}{2}}$

Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 3 + \sqrt{\frac{35}{2}};\; x_2 = 3 - \sqrt{\frac{35}{2}}$

b) $x^2 + 4x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 2\times x\times 2 = 12$

$\Leftrightarrow x^2 + 2\times x\times 2 + 2^2= 12 + 2^2$

$\Leftrightarrow (x + 2)^2 = 16$

$\Leftrightarrow x + 2 = \pm 4$

$\Leftrightarrow  x = -2 \pm 4$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = 2;\;\; x_2 = -6$