Bài tập 4 trang 64 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{ASB} = 90^{o}; \widehat{BSC} = 60^{o}$ và $\widehat{ASC} = 120^{o}$. Gọi I là trung điểm cạnh AC. Chứng minh $SI \perp (ABC)$
Bài Làm:
Tam giác SAB vuông tại S
có: $AB =\sqrt{SA^{2}+SB^{2}}=a\sqrt{2}$
Tam giác SBC có: SB=SC=a, $\widehat{BSC} = 60^{o}$ nên tam giác SBC đều. Suy ra BC = a
Tam giác SAC có: $AC = \sqrt{SA^{2}+SC^{2}-2SA.SC.cos\widehat{ASC}} = a\sqrt{3}$
Tam giác ABC có $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại B
Mà I là trung điểm AC nên $BI = \frac{AC}{2}= a\frac{\sqrt{3}}{2}$
Tam giác SAC cân cạnh a có SI là trung tuyến nên $SI \perp AC$
Suy ra: $SI = \sqrt{SA^{2}-AI^{2}}=\frac{a}{2}$
Tam giác SIB có $SI^{2}+IB^{2} = SB^{2}$ nên tam giác SIB vuông tại I.
Ta có: $SI \perp IB; SI \perp AC$ nên $SI \perp (ABC)$
