Bài tập 30 trang 100 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, $\widehat{A}=\frac{1}{2}\widehat{B}$. Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho $\widehat{HBK}$ = 60°.
a) Chứng minh DH + DK không đổi.
b) Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
Bài Làm:
a) Do ABCD là hình thoi nên AB = DA = 2 cm, $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$
Mà $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ => $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}$
Do đó tam giác ABD cân tại D => DA = DB.
Mà AB = DA => AB = DA = DB.
∆ABH = ∆DBK (g.c.g) => AH = DK. Do đó DH + DK = DH + AH = AD.
Vậy DH + DK không đổi.
b) Do ∆ABH = ∆DBK nên BH = BK.
Tam giác BHK có BH = BK và $\widehat{HBK}$ = 60° nên tam giác BHK là tam giác đều.
=> HK = BH = BK.
Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất. Vậy H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.
Khi đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
=> AH = DH = $\frac{AD}{2}$ = 1 cm.
Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB2 = AH2 + BH2 => BH2 = AB2 – AH2 = 22 -12 = 3
=> BH = $\sqrt{3}$ cm.
Vậy độ dài ngắn nhất của HK là $\sqrt{3}$ cm.
