Bài tập 28 trang 100 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
a) BN ⊥ CM;
b) Tứ giác MNHK là hình thoi.
Bài Làm:
a) Do tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E nên
$\widehat{ABD}+\widehat{A}=\widehat{ACE}+\widehat{A}$ = 90°
=> $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.
Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$
=> $\widehat{ABN}=\widehat{DBN}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}$.
Do tam giác CEM vuông tại E nên $\widehat{ECM}=\widehat{EMC}$ = 90°.
=> $\widehat{ABN}+\widehat{ECM}$ = 90° hay $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}$ = 90°.
Do đó, ta tính được $\widehat{BOM}$ = 90°. Vậy BN ⊥ CM.
b) ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) => OM = OH.
∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông - góc nhọn kề). Suy ra ON = OK.
Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.
Hình bình hành MNHK có MH ⊥ NK nên MNHK là hình thoi.
