Bài tập 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}$. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh $AB \perp (SIJ)$
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
Bài Làm:
a) S.ABCD là hình chóp đều, O là tâm của đáy nên $SO \perp (ABCD)$
Nên $SO \perp AB$
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $IJ \perp AB$
Suy ra: $AB \perp (SIJ)$
b) Kẻ $IH \perp SJ$
Vì $AB \perp (SIJ)$ nên $AB \perp IH$
Ta có: $SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp CD$. Mà $CD \perp IJ$ nên $CD \perp SIJ)$
Suy ra: $CD \perp IH$. Mà $IH \perp SJ$ nên $IH \perp (SCD)$ và $IH \perp CD$
Ta có: $SJ =\sqrt{SC^{2}-CJ^{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$
$SO = \sqrt{SC^{2}-OC^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$
$S_{SIJ} = \frac{1}{2}.IH.SJ=\frac{1}{2}.SO.IJ$. Suy ra: $IH=\frac{a\sqrt{42}}{7}$
$d(AB,SC) = IH = \frac{a\sqrt{42}}{7}$
