Bài tập
Bài tập 1 trang 85 Toán 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện đều ABCD, Vẽ hình bình hành BCED
a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD)
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A,CD,B]; [A,CD,E]
Bài Làm:
a) Gọi O là tâm tam giác BCD. Do tứ diện ABCD đều nên $AO \perp (BCD)$
Nên góc giữa đường thẳng AB và (BCD) là $\widehat{ABO}$
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.
O là trọng tâm tam giác BCD nên $BO = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$cos\widehat{ABO} = \frac{BO}{AB} =\frac{\sqrt{3}}{3}$ nên $\widehat{ABO} = 54,7^{o}$
Suy ra góc giữa đường thẳng AB và (BCD} bằng $54,7^{o}$
b) Gọi M là trung điểm CD.
BCED là hình bình hành nên ED = BC = a, CE = BD = a. Nên BCED là hình thoi
Ta có $BM\perp CD, EM \perp CD$
Mà $CD \perp AO$ nên $CD \perp (ABM)$. Suy ra $CD \perp AM$
$[A, CD, B] = \widehat{AMB}, [A, CD, E] =\widehat{AME}$
Ta có: $OM = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
$AO = \sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
$tan\widehat{AMO} = \frac{AO}{OM} = 2\sqrt{2}$.
Nên $\widehat{AMO}= 70,5^{o}, \widehat{AME} = 180^{o} - 70,5^{o} = 109,5^{o}$
Vậy $[A, CD, B] = 70,5^{o} , [A, CD, E] = 109,5^{o}$
