Bài tập 7.23 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.
a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.
Bài Làm:
Gọi $O$
là trung điểm của $BB′$. Ta cần tính khoảng cách từ $C$ đến $(BB′D′D)$, hay khoảng cách từ $C$ đến $OO′$. Khoảng cách này bằng khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(BO′O)$ nhân với $cos \widehat{CO'O}
$cos \widehat{CO'O}=\frac{CO'}{CC'}=\frac{\frac{1}{2}c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}$
Để xác định khoảng cách từ $C$ đến $(BB′D′D)$, ta cần biết $d(O′,(BO′O))$. Khi đó, khoảng cách cần tìm chính là:
$d_{CC',BB'D'D}=d(C,(BO'O))cos \widehat{CO'O}$
$=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}.\frac{\frac{1}{2}c}{\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{2}b)^{2}+(\frac{1}{2}c)^{2}}}$
b) Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(B'C'D')$ la đường thẳng $\delta$ di qua trung điểm của $BD$ và song song với $ABCD$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BD,N$ là trung điểm của $B'D',P$ là trung điểm của $AD,Q$ là trung điểm $A'C'$. Khi đó $\delta$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ qua $M$, suy ra $\delta$ vuông góc với $AC$
$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2},PQ=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$
$d_{\Delta ,AC}=\frac{\left | AM.AC.CM \right |}{2S_{ABC}}=\frac{\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})}}{2c}$
