Luyện tập 1 trang 55 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a, AA'= h (H.7.77).
a) Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng R cách từ A đến BC'.
Bài Làm:
a) Gọi E là trung điểm của CC'. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') chính là khoảng cách từ A đến đoạn thẳng BE.
Ta có $\vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})$ nên $AC'=AA'+A'C'=h+AC \vec{AE}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AC'})$
$=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AA'}+\vec{A'C'})=\frac{1}{2}(\frac{h}{a}\vec{AB}+\frac{AC}{a}\vec{AB'})$
Ta biết rằng $\vec{AB}.\vec{AB'}=0 $ do $AB$ vuông góc với$AB'$ và $\vec{AC}.\vec{AB'}=0$ do $AC \perp AB'$. Từ đó, ta suy ra :
$\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{2}\vec{AB}.\vec{AC}+\frac{h}{2a}\left | \vec{AB} \right |^{2} $
Mặt khác, ta có thể
$\vec{AB}.\vec{AC}=\left | \vec{AB} \right |\left | \vec{AC} \right |cos (\widehat{AB,AC})=a^{2}cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}a^{2}$
do đó
$\vec{AE}.\vec{AB'}=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{h}{2}\frac{a}{\sqrt{2}}$
Khoảng cách từ $A $đến đoạn thẳng $BE$ là:
$d(A,BE)=\frac{\left | \vec{AE} .\vec{AB'}\right |}{\vec{AB'}}=\frac{a}{4}+\frac{h}{\sqrt{2}}$
b) Ta có $\vec{BC'}=\vec{BB'}+\vec{B'C'}$ Vì $BB' \perp BC'$ nên $ BB'. BC'=0 $ Mặt khác ta có:
$\vec{B'C'}. \vec{BB'}=(\vec{BB'}+\vec{B'C'}).\vec{BB'}$
$= \left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}$
$=\left | \vec{BB'} \right |^{2}+\vec{B'C'}.\vec{BB'}cos \widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}$
Do đó:
$ \widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}}=\sqrt{1-cos^{2}(\widehat{\vec{B'C'},\vec{BB'}})}=\frac{\sqrt{2}a}{2b}$
Vậy tam giác ABC' là tam giác vuông cân tại C'.
Khoảng cách từ A đến BC' là:
$d(A, BC') = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC'}|}{|\overrightarrow{AB}|} $
