BÀI TẬP
Bài tập 7.22 trang 59 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và $(SAD) \perp (ABCD)$.
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa $BC$ và $(SAD)$.
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AB$ và $SD$.
Bài Làm:
Gọi $
H$ là trung điểm $AB$. Khi đó, $SH$ là đường cao của tam giác đều $SAD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AH$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Suy ra $SH$ vuông góc với mặt phẳng đáy $ABCD$. Ta có:
$SH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Gọi $O$ là trung diểm của $SD$.Khi đó $OB//(SAD)$ và$OB=\frac{\sqrt{2}}{2}a$. Ta có khoảng cách từ $C$ dến $(SAD)$. Để làm được điều này, ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(BCD)$. Gọi $E$ là iao điểm của $BD$ và $SH$. Khi đó $SE$ song song với $BC$ và $BE= \frac{1}{\sqrt{2}}a$
$CE=BE-BC=\frac{1}{\sqrt{2}}a-a=(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)a$
Ta lại có $OE$ vuông góc với (SAD) và $OE= \frac{1}{2} SH= \frac{\sqrt{3}}{4}a$ Khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ là khoảng cách từ $C$ đến $OE$ hay
$d_{BC,(SAD)}=\frac{CE}{sin\widehat{CEO}}=\frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}a=(2+\sqrt{2})a$
c) Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $\delta$ đi qua trung điẻm của $AC$ và $BD$. Suy ra $\delta$ và $AB$
Gọi $M$ là trung điểm cua $AC$ và $N$ là trung điểm ủa $BD$. Khi đó, $SM$ vuông góc với $(SAB)$ và $SN$ vuông góc với $(SCD)$ . Suy ra $\delta$ vuông góc với cả hai mặt phẳng
$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Khoảng cách giữa $\delta$ và $AB$ bằng khoảng cách từ điểm $
S$ đến đường thẳng $AB$ theo công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường:
$d_{S,AC}=\frac{\left | SA.AB.SB \right |}{2S_{SAB}}=\frac{\sqrt6}{3}a$
