1.27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta $: 2x - y - 1 = 0 và hai điểm A(-1; 2), B(-3; 4).
a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục $\Delta $.
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng $\Delta $ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài Làm:
Đường thẳng $\Delta $: y = 2x - 1.
a) Gọi A'$(x_{1},y_{1})$ là ảnh của A(-1; 2) qua phép đối xứng trục $\Delta $ và phương trình đường thẳng AA': y = ax + b.
Ta có: AA' vuông góc với $\Delta $
Suy ra: 2.a = -1 $\Rightarrow $ a = $-\frac{1}{2}$.
Ta có: A(-1; 2) thuộc đường thẳng AA' nên 2 = $-\frac{1}{2}$.(-1) + b. Do đó: b = $\frac{3}{2}$.
Suy ra: Phương trình đường thẳng AA': y = $-\frac{1}{2}$x + $\frac{3}{2}$.
Gọi I là giao điểm của AA' và $\Delta $.
Ta có: $-\frac{1}{2}$x + $\frac{3}{2}$ = 2x - 1 $\Leftrightarrow $ x = 1 $\Rightarrow $ y = 1. Suy ra, I(1; 1).
Do I là trung điểm của AA' nên $\vec{IA}=-\vec{IA'}$.
Suy ra: A'(3; 0).
b) Tam giác ABM có: MA + MB $\geq $ AB
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M thuộc AB hay M, A, B thẳng hàng
Mà M thuộc đường thẳng $\Delta $ (đề bài)
Do đó: M là giao điểm của đường thẳng AB và $\Delta $ thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
