Bài Làm:
Lời giải bài 4 :
Đề bài :
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao BB' , CC' cắt nhau tại điểm H .Gọi M là trung điểm của BC .Tia MH cắt (O) tại điểm P .
a. Chứng minh rằng hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng .
b. Cho đường phân giác của các góc $\widehat{BPC'}, \widehat{CPB'}$ lần lượt cắt AB , AC tại các điểm E , F .Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , K là giao điểm của HM và AO' .
- Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp .
- Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của ( O' ) cắt nhau tại một điểm nằm trên ( O ) .
Hướng dẫn giải chi tiết :
a. Ta có : AO cắt (O ) tại D => AD là đường kính của (O) .
=> $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$
=> BD // CH ; CD // BH .
=> Tứ giác HDCB là hình bình hành .
=> DH cắt BC tại trung điểm cạnh BC và cũng là trung điểm cạnh DH .
=> D , M , H , P thẳng hàng .
=> $\widehat{APD}=\widehat{APH}=90^{\circ}$
=> P thuộc đường tròn đường kính AH .
Mà : $\widehat{AB'H}=\widehat{AC'H}=90^{\circ}$
=> B' , C' thuộc đường tròn đường kính AH .
=> A , P , B' , C' ,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH .
=> $\left\{\begin{matrix}\widehat{AB'P}=\widehat{AC'P}& & \\\widehat{PC'B}+\widehat{PC'A}=90^{\circ}& & \\ \widehat{PB'C}+\widehat{PB'A}=180^{\circ} & & \end{matrix}\right.$
=> $\widehat{PB'C}=\widehat{PC'B}$ (1)
Xét ( O) , ta có : $\widehat{PCB'}=\widehat{PBC'}$ ( do cùng chắn cung AP ) (2)
Từ (1), (2) => $\triangle BPC' \sim \triangle CPB'$ ( g - g ) ( đpcm ) .
b. Kẻ PE , PF lần lượt là phân giác của BPC' và CPB' .
=> $\left\{\begin{matrix}EPC'=\frac{1}{2}BPC' & \\ FPB'=\frac{1}{2}CPB' & \end{matrix}\right.$
Do $\triangle BPC' \sim \triangle CPB'$ => $\widehat{BPC'}=\widehat{CPB'}$
=> $\widehat{EPC'}=\widehat{EPB'}$
Xét $\triangle PEC'$ và $\triangle PFB'$ có :
$\left\{\begin{matrix}\widehat{EPC'}=\widehat{EPB'} & \\ \widehat{PC'E}=\widehat{PB'F} (\triangle BPC' \sim \triangle CPB') & \end{matrix}\right.$
=> $\triangle PEC' \sim \triangle PFB'$ ( g - g ) .
=> $ \widehat{PEC'} =\widehat{PFB'} $
=> Tứ giác APEF nội tiếp ( đpcm ) .
Vì O' là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AEF$
=> O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APEF .
Gọi K' là giao của AO' và ( O' ) => AK' là đường kính .
=> $\widehat{APK}=90^{\circ}$ (*)
Mà $\widehat{APD}=90^{\circ}$ (**)
Từ (*), (**) => $K\in PD'$ .
=> K là giao của PD và AO' .
=> K là giao của MH và AO' .
=> $K\equiv K'=> K\in (O)$ .
=> Tứ giác PEKF nội tiếp . ( đpcm )