Bài Làm:
Hướng dẫn giải câu 4 :
Đề ra :
Giải phương trình sau : $\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$ (*)
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sin ^{2}x} (0\leq a\leq 1) & \\ b=\sqrt[3]{\cos ^{2}x} (0\leq b\leq 1) & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\sin ^{2}x & \\ b^{3}=\cos ^{2}x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{3}+b^{3}=1$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=1 & \\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}(a+b) \left [(a+b)^{2}-3ab \right ]=1 &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}} &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> a , b là nghiệm của phương trình : $X^{2}-\sqrt[3]{4}X+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=0$
=> $X=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}=> a=b=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{\sin ^{2}x}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4} & \\ \sqrt[3]{\cos ^{2}x} =\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x=\frac{1}{2} & \\ \cos ^{2}x =\frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$
<=> $\cos 2x=0=> x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$ .