Luyện tập 4 trang 36 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng$SC\perp (MBD)$ và AH // (MBD).
Bài Làm:
Đặt $O$ là trung điểm của $AB$, $E$ là trung điểm của $CD$, $N$ là trung điểm của $BC$. Ta có $OM // ND$ vì $OM// AB$ và $ND // AB$.
Do đó, Do đó, $\triangle OMB$ và $\triangle NDB$
Ta có $SA // BC$ vì $ABCD$ là hình vuông nên $AH = \frac{1}{\sqrt{2}}SC$, $BM = \frac{1}{2}SC$, và $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}SA$.
Kẻ $BD$. Ta có $MBD$ là tam giác vuông tại $M$.
Vì $AH = \frac{1}{\sqrt{2}}SC$ và $\frac{OM}{MB} = \frac{1}{2}$ nên $\triangle OMB$ và $\triangle AHS$ đồng dạng.
Vậy $\widehat { AHS} = \widehat {OMB}$.
Tương tự, $\triangle NDB$ và $\triangle ASC$ đồng dạng nên $\widehat{SCN} = \widehat{ NDB}$.
Suy ra, $\widehat{MBD} = \widehat{ AHS} = \widehat{OMB}$ và $SC \perp BD$.
Do đó, $SC \perp (MBD)$ và $AH // (MBD)$.
