Câu 7: Trang 49 - sgk hình học 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.
a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.
b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên.
Bài Làm:
a) Gọi O là tâm hình hộp chữ nhật ABCD
=> $OA = OB = OC = OD = OA' = OB' = OC' = OD' = \frac{AC'}{2}$
Mà $AC'=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
=> $OA = OB = OC = OD = OA' = OB' = OC' = OD' = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$
Vậy mặt cầu đi qua tám đỉnh hình hộp chữ nhật tâm O, bán kính $R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$.
b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là hai đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
=> Bán kính của đường tròn giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên là:
$r=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$
Vậy bán kính cần tìm bằng $r=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$.