Câu 10: Trang 49 - sgk hình học 12
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Bài Làm:
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC
=> HB = HC
Kẻ $Ht\perp mp(SBC)$ => Ht // SA.
Mặt khác, ta có: $OS=OA=OB=OC=$
=> O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Bán kính mặt cầu đó là: $R=OS=\sqrt{OH^{2}+SH^{2}}$
Mà $OH=IS=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$
=> $SH=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{SB^{2}+SC^{2}}}{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}$
=> $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
Vậy bán kính là $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$
Diện tích mặt cầu là:
$S=4\prod R^{2}=\prod (a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Thể tích khối cầu là:
$V=\frac{4}{3}\prod R^{3}=\frac{1}{6}\prod\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}} $