Câu 4: Trang 138 toán VNEN tập 2
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm ), bán kính R, có các đường cao AG, BF, CL cắt nhau tại H. Hơn nữa, AG, BF cắt (O) tương ứng tại D và E. Kẻ đường kính AJ. Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) AFGB là tứ giác nội tiếp
b) BHD là tam giác cân
c) E và H đối xứng với nhau qua AC
d) K là trung điểm của đoạn thẳng HJ.
e) AH = 2OK.
Hướng dẫn: Xem hình 145
a) Do $\widehat{AFB} = \widehat{AGB} = 90^\circ$ nên AFGB là tứ giác nội tiếp. Suy ra, $\widehat{GAF} = \widehat{FBG}$ (*) (cùng chắn cung GF).
Lại có: $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$ (cùng chắn cung CD của (O)), nên BHD là tam giác cân. Với (O), từ (*) suy ra: cung CD = cung CE, nên CD = CE. Do đó, E và H $.......$
Do $\widehat{JBA} = 90^\circ$ (chắn nửa đường tròn) nên BJ // CL.
Tương tự, JC // BF nên BHCJ là hình bình hành, suy ra K là $.........$.
Do O và K tương ứng là trung điểm của JA và JH nên $................$
Bài Làm:
a) Do $\widehat{AFB} = \widehat{AGB} = 90^\circ$ nên AFGB là tứ giác nội tiếp.
b) AFGB là tứ giác nội tiếp nên suy ra, $\widehat{GAF} = \widehat{FBG}$ (*) (cùng chắn cung GF).
Lại có: $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$ (cùng chắn cung CD của (O)), nên BHD là tam giác cân.
c) Với (O), từ (*) suy ra: cung CD = cung CE, nên CD = CE. Do đó, E và H đối xứng với nhau qua AC
d) Do $\widehat{JBA} = 90^\circ$ (chắn nửa đường tròn) nên BJ // CL.
Tương tự, JC // BF nên BHCJ là hình bình hành, suy ra K là là trung điểm đoạn HJ.
e) Do O và K tương ứng là trung điểm của JA và JH nên OK là đường trung bình của tam giác AHJ
Suy ra, AH = 2OK.