9.9. Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M tùy ý thuộc đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB, AC là một số không đổi.
Bài Làm:
TH1: Khi M trùng với B hay C thì tổng khoảng cách đó là BI hoặc CK
Theo bài 9.8: BI = CK
TH2: Khi M khác B, khác C
Kẻ MP $\perp $ AC; MQ $\perp $ AB.
=> Tổng khoảng cách đang xét: MQ + MP
Qua M kẻ MR//AC; MR cắt BI tại S.
=> $ \widehat{C}=\widehat{RMB}$ (2 góc đồng vị)
Mà $\widehat{C}=\widehat{B}$
=> $\widehat{B}=\widehat{RMB}$
=> $\Delta $RBM cân tại R
MQ là khoảng cách từ M đến RB, BS là khoảng cách từ B đến RM
Theo bài 9.8: MQ = BS
Ta có: MR // AC, MP và SI có độ dài là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó nên MP = SI
Suy ra: MP + MQ = BS + SI = BI = CK.