7.8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A(–1; 0) và B(1; 2).
a) Lập phương trình đường thẳng BC.
b) Tìm toạ độ của điểm C biết rằng hoành độ của điểm C là số dương.
Bài Làm:
a) Do ABCD là hình vuông nên AB và BC vuông góc với nhau tại B.
Do đó, đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ = (1 – (–1); 2 – 0) = (2; 2) làm vectơ pháp tuyến.
Chọn điểm B(1; 2) thuộc đường thẳng BC. Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
2(x – 1) + 2(y – 2) = 0
⇔ 2x + 2y – 2 – 4 = 0
⇔ 2x + 2y – 6 = 0
⇔ x + y – 3 = 0.
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng BC: x + y – 3 = 0.
b) Từ phương trình đường thẳng BC là: x + y – 3 = 0 ta có:
y = 3 – x
Điểm C thuộc đường thẳng BC nên tọa độ của nó có dạng: (t; 3 – t)
$\overrightarrow{BC}$ = (t – 1; 3 – t – 2) = (t – 1; 1 – t)
$BC=\sqrt{(t-1)^{2}+(1-t)^{2}}$
$AB=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$
Do ABCD là hình vuông nên ta có:
BC = AB
⇔$ (t – 1)^{2} + (1 – t)^{2} = ( 2\sqrt{2} )^{2}$
⇔ $t^{2} – 2t + 1 + 1 – 2t + t^{2} = 8$
⇔ $2t^{2} – 4t – 6 = 0$
⇔ t = 3 hay t = –1
Với t = 3, ta có: C (3; 0)
Với t = –1, ta có: C (–1; 4)
Mà hoành độ của điểm C là số dương nên C(3; 0) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
