Bài tập 7.42 trang 65 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng a, $AA' \perp (ABCD)$ và $\widehat{BAD} = 60^{\circ}$.
a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$.
Bài Làm:
a) $V = S_{ABCD} \cdot AA' = a^3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}$
b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(A'BD)$
Gọi $M$ là trung điểm $BD$.
Ta có $AM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$ và $BM=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$, khi đó
$AH=AM.cos\widehat{AMB}$
$=\frac{a}{2}.\frac{\frac{1}{2}a}{\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a\sqrt{3}}{4})^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$ là $\frac{a\sqrt{3}}{4}$